Question

如圖，菱形ABCD中，對角線AC=6，BD=8，M、N分別是BC、CD的中點，P是線段BD上的一個動點，則PM+PN的最小值是　　　　　　．

Answer 1

5　．

【考點】軸對稱-最短路線問題；勾股定理的應用；平行四邊形的判定與性質；菱形的性質．

【分析】作M關于BD的對稱點Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時MP+NP的值最小，連接AC，求出CP、PB，根據勾股定理求出BC長，證出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．

【解答】解：作M關于BD的對稱點Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時MP+NP的值最小，連接AC，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，

即Q在AB上，

∵MQ⊥BD，

∴AC∥MQ，

∵M為BC中點，

∴Q為AB中點，

∵N為CD中點，四邊形ABCD是菱形，

∴BQ∥CD，BQ=CN，

∴四邊形BQNC是平行四邊形，

∴NQ=BC，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴CP=AC=3，BP=BD=4，

在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，

即NQ=5，

∴MP+NP=QP+NP=QN=5，

故答案為：5．