Question

9．利用完全平方公式，可以將多項式ax²+bx+c（a≠0）變形為a（x+m）²+n的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項ax²+bx+c式的配方法．
運用多項式的配方法及平方差公式能對一些多項式進行分解因式．
例如：x²+11x+24=x²+11x+（$\frac{11}{2}$）²-（$\frac{11}{2}$）²+24=（x+$\frac{11}{2}$）²-$\frac{25}{4}$=（x+$\frac{11}{2}$+$\frac{5}{2}$）（x+$\frac{11}{2}$-$\frac{5}{2}$）=（x+8）（x+3）
根據以上材料，解答下列問題：
（1）用配方法將多項式x²-3x-10化成（x+m）²+n的形式；
（2）用配方法及平方差公式對多項式x²-3x-10進行分解因式；
（3）求證：不論x，y取任何實數，多項式x²+y²-2x-4y+16的值總為正數．

Answer 1

分析 （1）根據配方法，可得答案；
（2）根據配方法，可得x²-3x-10=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{49}{4}$，再根據平方差公式，可得答案；
（3）根據配方法把x²+y²-2x-4y+16變形成（x-1）²+（y-2）²+11，再根據平方的非負性，可得答案．

解答 （1）解：x²-3x-10
=x²-3x+（$\frac{3}{2}$）²-（$\frac{3}{2}$）²-10
=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{49}{4}$；

（2）解：x²-3x-10
=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{49}{4}$
=（x-$\frac{3}{2}$）²-（$\frac{7}{2}$）²
=（x+2）（x-5）；

（3）證明：x²+y²-2x-4y+16
=（x²-2x+1）+（y²-4y+4）+11
=（x-1）²+（y-2）²+11≥11，
故x，y取任何實數時，多項式x²+y²-2x-4y+16的值總為正數．

點評 本題考查了配方法的應用，利用完全平方公式：a²±2ab+b²=（a±b）²配方是解題關鍵．也考查了平方差公式．