Question

11．如圖，拋物線y=ax²+2x-6與x軸交于點A（-6，0），B（點A在點B的左側），與y軸交于點C，直線BD與拋物線交于點D，點D與點C關于該拋物線的對稱軸對稱．
（1）連接CD，求拋物線的表達式和線段CD的長度；
（2）在線段BD下方的拋物線上有一點P，過點P作PM∥x軸，PN∥y軸，分別交BD于點M，N．當△MPN的面積最大時，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據待定系數法，可得函數解析式；根據自變量與函數值的對應關系，可得C、D點坐標，根據平行于x軸直線上兩點間的距離是較大的小橫坐標減較的橫坐標，可得答案；
（2）根據待定系數法，可得BD的解析式，根據自變量與函數值的對應關系，可得E點坐標，根據等腰三角形的性質，可得∠OBE=∠OEB=45°，根據平行線的性質，可得∠PMN=∠PNM=45°，根據直角三角形的判定，可得∠P，根據三角形的面積公式，根據二次函數的性質，可得a的值，再根據自變量與函數值的對應關系，可得答案．

解答 解：（1）將A點坐標代入函數解析式，得
36a-12-6=0．
解得a=$\frac{1}{2}$，
拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²+2x-6；
當x=0時y=-6．即C（0，-6）．
當y=-6時，-6=$\frac{1}{2}$x²+2x-6，
解得x=0（舍），x=-4，即D（-4，-6）．
CD=0-（-4）=4，
線段CD的長為4；
（2）如圖，
當y=0時，$\frac{1}{2}$x²+2x-6=0．解得x=-6（不符合題意，舍）或x=2．
即B（2，0）．
設BD的解析式為y=kx+b，將B、D點坐標代入函數解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{-4k+b=-6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
BD的解析式為y=x-2，
當x=0時，y=-2，即E（0，-2）．
OB=OE=2，∠BOE=90°
∠OBE=∠OEB=45°．
∵點P作PM∥x軸，PN∥y軸，
∴∠PMN=∠PNM=45°，∠NPM=90°．
∵N在BD上，設N（a，a-2）；P在拋物線上，設P（a，$\frac{1}{2}$a²+2a-6）．
PN=a-2-（$\frac{1}{2}$a²+2a-6）=-$\frac{1}{2}$a²-a+4=-$\frac{1}{2}$（a+1）²+$\frac{9}{2}$，
S=$\frac{1}{2}$PN²=$\frac{1}{2}$[-$\frac{1}{2}$（a+1）²+$\frac{9}{2}$]²，
當a=-1時，S_最大=$\frac{1}{2}$×（$\frac{9}{2}$）²=$\frac{81}{8}$，
a=-1，$\frac{1}{2}$a²+2a-6=-$\frac{15}{2}$，
點P的坐標為（-1，-$\frac{15}{2}$）．

點評 本題考查了二次函數綜合題，利用待定系數法求函數的解析式；利用等腰直角三角形的判定得出△PMN是等腰直角三角形是解題關鍵，又利用了平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標．