Question

1．如圖，在等邊△ABC內有一點D，AD=5，BD=6，CD=4，將△ABD繞A點逆時針旋轉，使AB與AC重合，點D旋轉至點E，求∠CDE的余弦值．

Answer 1

分析 先根據等邊三角形的性質得AB=AC，∠BAC=60°，再根據旋轉的性質得AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，于是可判斷△ADE為等邊三角形，得到DE=AD=5；過E點作EH⊥CD于H，如圖，設DH=x，則CH=4-x，利用勾股定理得到5²-x²=6²-（4-x）²，解得x=$\frac{5}{8}$，然后根據余弦的定義求解．

解答 解：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△ABD繞A點逆時針旋轉得△ACE，
∴AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，
∴△ADE為等邊三角形，
∴DE=AD=5，
過E點作EH⊥CD于H，如圖，設DH=x，則CH=4-x，
在Rt△DHE中，EH²=5²-x²，
在Rt△CHE中，EH²=6²-（4-x）²，
∴5²-x²=6²-（4-x）²，解得x=$\frac{5}{8}$，
∴DH=$\frac{5}{8}$，
在Rt△EDH中，cos∠HDE=$\frac{DH}{DE}$=$\frac{\frac{5}{8}}{5}$=$\frac{1}{8}$，
即∠CDE的余弦值為$\frac{1}{8}$．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質和解直角三角形．