Question

12．如圖，一根木棒AB的長為2m斜靠在與地面垂直的墻上，與地面的傾斜角∠ABO為60°，當(dāng)木棒沿墻壁向下滑動至A′，AA′=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，B端沿地面向右滑動至點B′，則木棒中點從P隨之運動至P′所經(jīng)過的路徑長為（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{π}{6}$
• D． $\frac{π}{12}$

Answer 1

分析 根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OP=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$A′B′=OP′，即P是隨之運動所經(jīng)過的路線是一段圓弧；在Rt△AOB中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到∠AOP=30°，OA=$\sqrt{3}$，則易求出OA′=OA-AA′=$\sqrt{2}$，即可得到△A′OB′為等腰直角三角形，得到∠A′B′O=45°，則∠POP′=∠A′OP′-∠AOP=15°，然后根據(jù)弧長公式計算即可．

解答 解：如圖，連接OP、OP′，
∵ON⊥OM，P為AB中點，
∴OP=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$A′B′=OP′，
∵AB=2，
∴OP=1，
當(dāng)A端下滑B端右滑時，AB的中點P到O的距離始終為定長1，
∴P是隨之運動所經(jīng)過的路線是一段圓弧，
∵∠ABO=60°，
∴∠AOP=30°，OA=$\sqrt{3}$，
∵AA′=（$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，），OA′=OA-AA′=$\sqrt{2}$，
∴sin∠A′B′O=$\frac{OA′}{A′B′}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠A′B′O=45°，
∴∠A′OP=45°
∴∠POP′=∠A′OP′-∠AOP=15°，
∴弧PP′的長=$\frac{15π×1}{180}$=$\frac{π}{12}$，
即P點運動到P′所經(jīng)過路線PP′的長為$\frac{π}{12}$，
故選：D．

點評 本題考查了弧長公式：l=$\frac{nπR}{180}$（n為弧所對的圓心角的度數(shù)，R為半徑），也考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和等腰直角三角形的性質(zhì)．