Question

6．如圖，已知CO₁是△ABC的中線，過點O₁作O₁E₁∥AC交BC于點E₁，連接AE₁交CO₁于點O₂；過點O₂作O₂E₂∥AC交BC于點E₂，連接AE₂交CO₁于點O₃；過點O₃作O₃E₃∥AC交BC于點E₃，…，如此繼續(xù)，可以依次得到點O₄，O₅，…，O_n和點E₄，E₅，…，E_n，則O₂₀₁₆E₂₀₁₆=$\frac{1}{2017}$AC．

Answer 1

分析 由O₁E₁∥AC可得出△BO₁E₁∽△BAC和△E₁O₁O₂∽△ACO₂，由相似三角形的性質(zhì)可得出$\frac{B{O}_{1}}{BA}$=$\frac{{O}_{1}{E}_{1}}{AC}$和$\frac{{E}_{1}{O}_{1}}{AC}$=$\frac{{E}_{1}{O}_{2}}{A{O}_{2}}$，結合三角形中位線定理即可得出O₂E₂=$\frac{1}{3}$AC，同理即可得出O_nE_n=$\frac{1}{n+1}$AC，再代入n=2016即可得出結論．

解答 解：∵O₁E₁∥AC，
∴∠BO₁E₁=∠BAC，∠BE₁O₁=∠BCA，
∴△BO₁E₁∽△BAC，
∴$\frac{B{O}_{1}}{BA}$=$\frac{{O}_{1}{E}_{1}}{AC}$．
∵CO₁是△ABC的中線，
∴$\frac{B{O}_{1}}{BA}$=$\frac{{O}_{1}{E}_{1}}{AC}$=$\frac{1}{2}$．
∵O₁E₁∥AC，
∴∠O₁E₁O₂=∠CAO₂，∠E₁O₁O₂=∠ACO₂，
∴△E₁O₁O₂∽△ACO₂，
∴$\frac{{E}_{1}{O}_{1}}{AC}$=$\frac{{E}_{1}{O}_{2}}{A{O}_{2}}$=$\frac{1}{2}$．
∵O₂E₂∥AC，
∴$\frac{{E}_{1}{O}_{2}}{{E}_{1}A}$=$\frac{{O}_{2}{E}_{2}}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
∴O₂E₂=$\frac{1}{3}$AC．
同理：O_nE_n=$\frac{1}{n+1}$AC．
∴O₂₀₁₆E₂₀₁₆=$\frac{1}{2016+1}$=$\frac{1}{2017}$．
故答案為：$\frac{1}{2017}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形中位線定理，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出O_nE_n=$\frac{1}{n+1}$AC是解題的關鍵．