Question

如圖，⊙O內切于Rt△ABC，點P、點Q分別在直角邊BC、斜邊AB上，PQ⊥AB，且PQ與⊙O相切，若AC=2PQ，則tan∠B的值為（　�。�

• A、

  1

  2

• B、

  2

  2

• C、

  3

  4

• D、

  3

  3

Answer 1

考點：三角形的內切圓與內心

專題：壓軸題

分析：設⊙O的半徑是R，PE=PF=x，BQ=y，連接OD，OG，OF，OE，得出正方形CDOE和OGQF，推出OD=CD=CE=OE=GQ=QF=R，求出y=2R，x=

1

2

R，根據銳角三角函數值求出即可．

解答：解：
設⊙O的半徑是R，PE=PF=x，BQ=y，
連接OD，OG，OF，OE，
∵⊙O內切于Rt△ABC，
∴∠ODC=∠OEC=90°=∠C，AD=AG，
∵OD=OE，
∴四邊形CDOE是正方形，
∴OD=CD=CE=OE=R，
同理OG=GQ=FQ=OF=R，
則PQ=CP，AC=AQ，
∵PQ⊥AB，∠C=90°，
∴∠C=∠PQB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BQP∽△BCA，
∴

BQ

BC

=

PQ

AC

=

1

2

，
∴BC=2BQ=2y，
根據BG=BE得：y+R=2y-R，
解得：y=2R，
在Rt△PQB中，由勾股定理得：PQ²+BQ²=BP²，
即（2R）²+（R+x）²=（4R-R-x）²，
解得：x=

1

2

R，
即PQ=

1

2

R+R=

3

2

R，BQ=2R，
tanB=

PQ

BQ

=

3 2 R

2R

=

3

4

．
故選C．

點評：本題考查了正方形的性質和判定，切線的性質，勾股定理，相似三角形的性質和判定，切線長定理等知識點的應用，主要考查學生的推理和計算能力，難度偏大．