Question

如圖，點A在雙曲線y=

k

x

上，點C在x軸正半軸上，過點A、C分別作x軸、y軸的平行線，交點為B，D為BC的中點，連接AD，OD．若OC=BC，∠OAD=∠AOC，S_△AOD=

5

4

，則k的值為

 

．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題

專題：綜合題,壓軸題

分析：設B點坐標為（a，a），A點坐標為（m，a），則C點坐標為（a，0），D點坐標為（a，

1

2

a），作DE∥OC，根據平行線性質得∠AED=∠AOC，而∠AOC=∠OAD，則∠AED=∠EAD，得到DA=DE，由DE為梯形ABCO的中位線，DE=

1

2

（AB+OC）=

1

2

（a-m+a）=a-

1

2

m，在Rt△ABD中利用勾股定理得到（a-m）²+

1

4

a²=（a-

1

2

m）²，可解得a₁=3m，a₂=m（舍去），然后利用S_△AOD=S_梯形ABCO-S_△ABD-S_△ODC=

5

4

建立關于m的方程，解方程得到滿足條件的m的值，確定A點坐標，再把A點坐標代入反比例解析式可求出k的值．

解答：解：設B點坐標為（a，a），A點坐標為（m，a），則C點坐標為（a，0），D點坐標為（a，

1

2

a），
作DE∥OC，如圖，則∠AED=∠AOC，
∵∠AOC=∠OAD，
∴∠AED=∠EAD，
∴DA=DE，
∵D點為BC的中點，
∴DE為梯形ABCO的中位線，
∴DE=

1

2

（AB+OC）=

1

2

（a-m+a）=a-

1

2

m，
∴DA=a-

1

2

m，
在Rt△ABD中，AB²+BD²=AD²，即（a-m）²+

1

4

a²=（a-

1

2

m）²，
整理得a²-4ma+3m²=0，解得a₁=3m，a₂=m（舍去），
∵S_△AOD=S_梯形ABCO-S_△ABD-S_△ODC，
∴

1

2

（2m+3m）•3m-

1

2

•2m•

3

2

m-

1

2

•3m•

3

2

m=

5

4

，
解得m₁=

3

3

，m₂=-

3

3

（舍去），
∴A點坐標為（

3

3

，

3

），
把A（

3

3

，

3

）代入y=

k

x

中得k=

3

3

×

3

=1．
故答案為：1．

點評：本題考查了反比例函數的綜合題：反比例函數y=

k

x

圖象上的點滿足其解析式；當k＞0，反比例函數圖象分布在第一、三象限，在每一象限y隨x的增大而減小；利用梯形中位線的性質可得到線段之間的相等關系，運用勾股定理可進行幾何計算．