Question

20．如圖，AB是⊙O的弦，AB=2$\sqrt{3}$，∠AOB=120°，點(diǎn)C是弦AB所對(duì)優(yōu)弧$\widehat{AB}$上的一動(dòng)點(diǎn)．

（I）當(dāng)AC最大時(shí)，求BC的長；
（2）當(dāng)△ACB的面積最大時(shí)，連接點(diǎn)C與劣弧$\widehat{BC}$的中點(diǎn)E，延長EC與過點(diǎn)A的AE的垂線交于點(diǎn)F，點(diǎn)H是AF的中點(diǎn)，連接CH，求證：CH是⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，當(dāng)AC是直徑時(shí)，AC的值最大，連接BC．根據(jù)BC=AB•tan30°，計(jì)算即可．
（2）如圖2中，當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，點(diǎn)C是$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，推出∠AOC=∠BOC=∠AOB=120°，由$\widehat{EC}$=$\widehat{EB}$，推出∠COE=∠EOB=60°，推出∠AOE=∠AOB+∠EOB=180°，推出AE是⊙O的直徑，推出∠ACE=90°，由HF=HA，推出HC=HF=HA，由∠FAC=90°-∠CAF=60°，推出△AHC是等邊三角形，推出∠HCA=60°，由OA=OC，推出∠OAC=∠OCA=30°，推出∠HCP=∠HCA+∠ACO=90°，即可證明．

解答 解：（1）如圖1中，當(dāng)AC是直徑時(shí)，AC的值最大，連接BC．
∵AC是直徑，
∴∠ABC=90°，
∵OA=OB，∠AOB=120°，
∴∠A=∠OBA=30°，
∴BC=AB•tan30°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2．

（2）如圖2中，當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，點(diǎn)C是$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，
∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=120°，
∵$\widehat{EC}$=$\widehat{EB}$，
∴∠COE=∠EOB=60°，
∴∠AOE=∠AOB+∠EOB=180°，
∴AE是⊙O的直徑，
∴∠ACE=90°，
∵HF=HA，
∴HC=HF=HA，
∵∠FAC=90°-∠CAF=60°，
∴△AHC是等邊三角形，
∴∠HCA=60°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴∠HCP=∠HCA+∠ACO=90°，
∴HC⊥OC，
∴CH是⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考常考題型．