Question

8．如圖，AB是⊙O直徑，弦CD⊥AB于P，E是⊙O上一點，連結(jié)AD、AC、AE、DE、CE．
求證：
（1）AE平分∠CED；
（2）AC²=AE•AF．

Answer 1

分析 （1）由垂徑定理得出$\widehat{AD}=\widehat{AC}$，由圓周角定理得出∠AED=∠AEC，即可得出結(jié)論；
（2）由圓周角定理得出∠ACD=∠AEC，再由公共角∠CAF=∠EAC，政策△ACF∽△AEC，得出對應邊成比例AC：AE=AF：AC，即可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）∵AB是⊙O直徑，弦CD⊥AB，
∴$\widehat{AD}=\widehat{AC}$，
∴∠AED=∠AEC，
∴AE平分∠CED；
（2）∵$\widehat{AD}=\widehat{AC}$，
∴∠ACD=∠AEC，
又∵∠CAF=∠EAC，
∴△ACF∽△AEC，
∴AC：AE=AF：AC，
∴AC²=AE•AF．

點評 本題考查了垂徑定理、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握垂徑定理，證明三角形相似得出比例式是解決問題（2）的關(guān)鍵．