Question

如圖，已知：在平行四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．求證：

（1）△AEH≌△CGF；

（2）四邊形EFGH是菱形．

　

Answer 1

 

【考點】平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質；菱形的判定．

【專題】證明題．

【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS證得結論；

（2）易證四邊形EFGH是平行四邊形，那么EF∥GH，那么∠HGE=∠FEG，而EG是角平分線，易得∠HEG=∠FEG，根據等量代換可得∠HEG=∠HGE，從而有HE=HG，易證四邊形EFGH是菱形．

【解答】（1）證明：如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠A=∠C，

在△AEH與△CGF中，

，

∴△AEH≌△CGF（SAS）；

 

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D．

又∵AE=CG，AH=CF，

∴BE=DG，BF=DH，

在△BEF與△DGH中，

∴△BEF≌△DGH（SAS），

∴EF=GH．

又由（1）知，△AEH≌△CGF，

∴EH=GF，

∴四邊形EFGH是平行四邊形，

∴HG∥EF，

∴∠HGE=∠FEG，

∵EG平分∠HEF，

∴∠HEG=∠FEG，

∴∠HEG=∠HGE，

∴HE=HG，

∴四邊形EFGH是菱形．

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質、菱形的判定．解題的關鍵是掌握兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．