Question

如圖，AB是⊙O的直徑， =，連接ED、BD，延長AE交BD的延長線于點M，過點D作⊙O的切線交AB的延長線于點C．

（1）若OA=CD=2，求陰影部分的面積；

（2）求證：DE=DM．

Answer 1

【考點】切線的性質；扇形面積的計算．

【專題】證明題．

【分析】（1）連接OD，根據已知和切線的性質證明△OCD為等腰直角三角形，得到∠DOC=45°，根據S_陰影=S_△OCD﹣S_扇OBD計算即可；

（2）連接AD，根據弦、弧之間的關系證明DB=DE，證明△AMD≌△ABD，得到DM=BD，得到答案．

【解答】（1）解：如圖，連接OD，

∵CD是⊙O切線，

∴OD⊥CD，

∵OA=CD=2，OA=OD，

∴OD=CD=2，

∴△OCD為等腰直角三角形，

∴∠DOC=∠C=45°，

∴S_陰影=S_△OCD﹣S_扇OBD=﹣=4﹣π；

（2）證明：如圖，連接AD，

∵AB是⊙O直徑，

∴∠ADB=∠ADM=90°，

又∵=，

∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，

在△AMD和△ABD中，

，

∴△AMD≌△ABD，

∴DM=BD，

∴DE=DM．

【點評】本題考查的是切線的性質、弦、弧之間的關系、扇形面積的計算，掌握切線的性質定理和扇形的面積公式是解題的關鍵，注意輔助線的作法．