Question

20．已知：如圖，已知△ABC與△ADE均為等腰三角形，BA=BC，DA=DE．如果點D在BC邊上，且∠EDC=∠BAD．點O為AC與DE的交點．
（1）求證：△ABC∽△ADE；
（2）求證：DA•OC=OD•CE．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的外角的性質和角的和差得到∠B=∠ADE，由于$\frac{BA}{BC}=\frac{DA}{DE}$=1，根據(jù)得到結論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質得到∠BAC=∠DAE，于是得到∠BAD=∠CAE=∠CDE，證得△COD∽△EOA，根據(jù)相似三角形的性質得到$\frac{OC}{OE}=\frac{OD}{OA}$，由∠AOD=∠COE，推出△AOD∽△COE，根據(jù)相似三角形的性質即可得到結論．

解答 證明：（1）∵∠ADC=∠ABC+∠BAD=∠ADE+∠EDC，
∴∠B=∠ADE，
∵$\frac{BA}{BC}=\frac{DA}{DE}$=1，
∴△ABC∽△ADE；

（2）∵△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE=∠CDE，
∵∠COD=∠EOA，
∴△COD∽△EOA，
∴$\frac{OC}{OE}=\frac{OD}{OA}$，
∵∠AOD=∠COE，
∴△AOD∽△EOC，
∴DA：CE=OD：OC，
即DA•OC=OD•CE．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，三角形的外角的性質，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．