Question

如圖，⊙O的直徑AB=6，AD、BC是⊙O的兩條切線，AD=2，BC=．

（1）求OD、OC的長；
（2）求證：△DOC∽△OBC；
（3）求證：CD是⊙O切線．

Answer 1

解：（1）∵AD、BC是⊙O的兩條切線，∴∠OAD=∠OBC=90°。
在Rt△AOD與Rt△BOC中，OA=OB=3，AD=2，BC=，
根據勾股定理得：。
（2）證明：過D作DE⊥BC，可得出∠DAB=∠ABE=∠BED=90°，

∴四邊形ABED為矩形。
∴BE=AD=2，DE=AB=6，EC=BC﹣BE=。
在Rt△EDC中，根據勾股定理得：，
∴。
∴△DOC∽△OBC。
（3）證明：過O作OF⊥DC，交DC于點F，
∵△DOC∽△OBC，∴∠BCO=∠FCO。
∵在△BCO和△FCO中，，
∴△BCO≌△FCO（AAS）。∴OB=OF。
∴CD是⊙O切線。

試題分析：（1）由AB的長求出OA與OB的長，根據AD，BC為圓的切線，利用切線的性質得到三角形AOD與三角形BOC都為直角三角形，利用勾股定理即可求出OD與OC的長。
（2）過D作DE垂直于BC，可得出BE=AD，DE=AB，在直角三角形DEC中，利用勾股定理求出CD的長，根據三邊對應成比例的三角形相似即可得證。
（3）過O作OF垂直于CD，根據（2）中兩三角形相似，利用相似三角形的對應角相等得到一對角相等，利用AAS得到三角形OCF與三角形OCB全等，由全等三角形的對應邊相等得到OF=OB，即OF為圓的半徑，即可確定出CD為圓O的切線。