Question

如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，直徑AB左側(cè)的半圓上有一點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)E（不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)EB、ED。

（1）如果∠CBD＝∠E，求證：BC是⊙O的切線；
（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△EDB≌△ABD，并給予證明；
（3）若tanE＝，BC＝，求陰影部分的面積。（計(jì)算結(jié)果精確到0.1)
(參考數(shù)值：π≈3.14, ≈1.41，≈1.73)

Answer 1

解：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即∠ABD＋∠BAD＝90°。
又∵∠CBD＝∠E，∠BAD＝∠E，∴∠ABD＋∠CBD＝90°，即∠ADC＝90°。
∴BC⊥AB�！郆C是⊙O的切線。
（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)O位置時(shí)，△EDB≌△ABD。證明如下：
當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)O位置時(shí)，∠EBD＝∠ADB＝90°，
又∵∠ABD＝∠E，BD=DB，∴△EDB≌△ABD（AAS）。
（3）如圖，連接OD，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AD于點(diǎn)F，

∵∠BAD＝∠E，tanE＝，∴tan∠BAD＝。
又∵∠ADB＝90°，∴∠BAD＝30°。
∵∠ABC＝90°，BC＝，∴。
∴AO=2，OF=1，AF=AOcos∠BAD＝。∴AD=。
∵AO=DO，∴∠AOD＝120°。
∴。

試題分析：（1）證明∠ADC＝90°即可。
（2）由AAS可判定當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)O位置時(shí)，△EDB≌△ABD。
（3）應(yīng)用銳角三角函數(shù)定義求出相關(guān)線段和角度，由求解。