Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線AD交BC于D，過點D作DE⊥AD交AB于E，以AE為直徑作⊙O．

（1）求證：點D在⊙O上；
（2）求證：BC是⊙O的切線；
（3）若AC=6，BC=8，求△BDE的面積．

Answer 1

解：（1）證明：連接OD，

∵△ADE是直角三角形，OA=OE，∴OD=OA=OE。
∴點D在⊙O上。
（2）證明：∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠CAD=∠DAB。
∵OD=OA，∴∠OAD=∠ODA。∴∠CAD=∠ODA。
∴AC∥OD。∴∠ODB=∠C=90°。
∴BC是⊙O的切線。
（3）在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，∴根據(jù)勾股定理得：AB=10。
設(shè)OD=OA=OE=x，則OB=10﹣x，
∵AC∥OD，∴△ACB∽△ODB。∴。
∴，解得：。
∴OD=，BE=10﹣2x=10﹣=。
∵，即，解得：BD=5。
過E作EH⊥BD，
∵EH∥OD，∴△BEH∽△BOD。
∴，即，解得：EH=。
∴S_△BDE=BD•EH=。

試題分析：（1）連接OD，由DO為直角三角形斜邊上的中線，得到OD=OA=OE，可得出點D在圓O上。
（2）由AD為角平分線，得到一對角相等，再由OD=OA，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對內(nèi)錯角相等，利用內(nèi)錯角相等兩直線平行得到OD與AC平行，根據(jù)兩直線平行同位角相等即可得到∠ODB為直角，即BC與OD垂直，即可確定出BC為圓O的切線。
（3）過E作EH垂直于BC，由OD與AC平行，得到△ACB與△ODB相似，設(shè)OD=OA=OE=x，表示出OB，由相似得比例列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出OD與BE的長，進(jìn)而確定出BD的長，再由△BEH與△ODB相似，由相似得比例求出EH的長，△BED以BD為底，EH為高，求出面積即可。