Question

15．在正方形ABCD中．
（1）如圖，點E在BC邊上，過E作EF⊥AC于F，G為線段AE的中點，連接BF、FG、GB．證明：△BGF是等腰直角三角形；
（2）若點E在直線BC上，（1）中其余條件不變，上述結論還成立嗎？請畫出圖形，并給出證明．

Answer 1

分析 （1）先根據在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出GF=GB，再根據正方形的性質以及三角形外角性質，求得∠BGF=2∠BAF=90°，即可得出△BGF為等腰直角三角形；
（2）分兩種情況進行討論：當E在CB延長線上時，當E在BC延長線上時，分別根據（1）中的方法進行證明即可．

解答 解：（1）證明：∵EF⊥AC于點F，
∴∠AFE=90°
∵G為斜邊AE的中點，
∴在Rt△AEF中，GF=$\frac{1}{2}$AE=AG，
∴∠GAB=∠GBA，
∵∠ABE=90°，G為斜邊AE的中點，
∴在Rt△ABE中，BG=$\frac{1}{2}$AE=AG，
∴∠GAF=∠GFA，且GF=GB，
∵∠BGE是△ABG的外角，∠EGF是△AGF的外角，
∴∠BGF=∠BGE+∠EGF=2∠GAB+2∠GAF=2∠BAF=90°，
∴△BGF為等腰直角三角形；

（2）分兩種情況：
①如圖所示，當E在CB延長線上時，
∵EF⊥AC于點F，
∴∠AFE=90°
∵G為斜邊AE的中點，
∴在Rt△AEF中，GF=$\frac{1}{2}$AE=AG，
∴∠GAB=∠GBA，
∵∠ABE=90°，G為斜邊AE的中點，
∴在Rt△ABE中，BG=$\frac{1}{2}$AE=AG，
∴∠GAF=∠GFA，且GF=GB，
∵∠BGE是△ABG的外角，∠EGF是△AGF的外角，
∴∠BGF=∠EGF-∠BGE=2∠GAF-2∠GAB=2∠BAF=90°，
∴△BGF為等腰直角三角形；
②如圖所示，當E在BC延長線上時，
同理可得GF=GB，
∵∠BGE是△ABG的外角，∠EGF是△AGF的外角，
∴∠BGF=∠BGE-∠EGF=2∠GAB-2∠GAF=2∠BAF=90°，
∴△BGF為等腰直角三角形．

點評 本題主要考查了正方形的性質，等腰直角三角形的判定與性質，直角三角形的性質以及三角形外角性質的綜合應用，解決問題的關鍵是掌握：直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．