Question

20．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是邊BC上一動點（不與B，C重合），DE⊥AB于點E，點F是線段AD的中點，連接EF，CF．
（1）試猜想線段EF與CF的大小關系，并加以證明．
（2）若∠BAC=30°，連接CE，在D點運動過程中，探求CE與AD的數量關系．

Answer 1

分析 （1）EF和CF分別是直角△AED和直角△ACD斜邊上的中線，依據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可證得；
（2）證明△EFC是等邊三角形，然后根據等邊三角形的定義以及直角三角形的性質求解．

解答 解：（1）EF=CF，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
∵點F是線段AD的中點，
∴EF=$\frac{1}{2}$ AD，CF=$\frac{1}{2}$AD，
∴EF=CF．   
（2）由（1）可知EF=AF=CF，
∴∠AEF=∠EAF，∠ACF=∠CAF，
∴∠EFD=2∠EAF，∠CFD=2∠CAF，
∴∠EFC=2∠BAC=60°，
又EF=CF，
∴△EFC為等邊三角形，
∴CE=EF=$\frac{1}{2}$ AD．

點評 本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及等邊三角形的判定與性質，證得△EFC是等邊三角形是關鍵．