Question

4．一次函數y=-$\frac{2}{3}$x+2的圖象分別與x軸、y軸交于點A、B，以線段AB為邊在第一象限內作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°
（1）請寫出A，B兩點坐標并在方格紙中畫出函數圖象與等腰Rt△ABC；
（2）求過B、C兩點直線的函數關系式．

Answer 1

分析 （1）在坐標系畫出一次函數的圖象，作出等腰直角三角形如圖，根據一次函數的解析式求出A、B兩點的坐標；
（2）作CD⊥x軸于點D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性質可知OA=CD，故可得出C點坐標，再用待定系數法即可求出直線BC的解析式．

解答 解：∵一次函數y=-$\frac{2}{3}$x+2中，令x=0得：y=2；
令y=0，解得x=3． 
∴B的坐標是（0，2），A的坐標是（3，0），
畫出函數圖象與等腰Rt△ABC如圖：
（2）作CD⊥x軸于點D．
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAO
又∵AB=AC，∠BOA=∠CDA=90°
∴△ABO≌△CAD，
∴AD=OB=2，CD=OA=3，OD=OA+AD=5．
則C的坐標是（5，3）．                    
設BC的解析式是y=kx+b，
根據題意得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{5k+b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{5}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
則BC的解析式是：y=$\frac{1}{5}$x+2．

點評 本題考查的是一次函數綜合題，涉及到用待定系數法求一次函數的解析式、全等三角形的判定定理與性質，根據題意作出輔助線，構造出全等三角形是解答此題的關鍵．