Question

19．如圖，ABCD是⊙O內(nèi)接矩形，半徑r=2，AB=2，E，F(xiàn)分別是AC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=CF，則BE+BF的最小值是（　　）

• A． $\sqrt{7}$
• B． 2$\sqrt{7}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先根據(jù)圓內(nèi)接矩形的四個(gè)角為90°的性質(zhì)可知：AC為⊙O的直徑；根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，作輔助線，構(gòu)建最短路徑時(shí)的點(diǎn)F，由兩點(diǎn)之間線段最短可知：此時(shí)BH最小，也就是BF+OF為最小，接著證明OF=BE即可，利用三角形全等可得結(jié)論；并利用勾股定理求出BH的長(zhǎng)．

解答 解：作O關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)H，連接OH，交CD于G，過(guò)H作直線BC的垂線，垂足為M，連接BH交CD于F，連接OF，此時(shí)BF+OF為最小，
∴∠ABC=90°，
∴AC為⊙O的直徑，
∵半徑r=2，AB=2，
∴OC=AB=OA=OB=2，
∴△OAB是等邊三角形，
∵ABCD是⊙O內(nèi)接矩形，
∴AB∥CD，
∴∠OCD=∠BAO，
∵AB=2，AC=4，
由勾股定理得：BC=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵AE=CF，
∴△ADE≌△COF，
∴BE=OF，
∴BE+BF=OF+BF，
由對(duì)稱性得：OF=FH，OG=GH，
∴BE+BF=BF+FH=BH，
∵OC=OD，OH⊥CD，
∴CG=DG=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB=1，
∵∠CGH=∠GCM=∠M=90°，
∴四邊形GCMH是矩形，
∴CM=GH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，HM=CG=1，
在Rt△BHM中，由勾股定理得：BH=$\sqrt{H{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（2\sqrt{3}+\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
即BF+BE的最小值為2$\sqrt{7}$；
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱的最短路徑問(wèn)題、矩形、圓周角定理、勾股定理，此類題的關(guān)鍵是找到最短路徑中的動(dòng)點(diǎn)的位置：可以通過(guò)軸對(duì)稱來(lái)確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線L的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)；構(gòu)建恰當(dāng)?shù)闹苯侨�角形，利用勾股定理�?jì)算線段的和取最小值時(shí)的長(zhǎng)．