Question

13．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（-1，0），點B（0，2），點C（3，0），直線a為過點D（0，-1）且平行于x軸的直線．
（1）直接寫出點B關于直線a對稱的點E的坐標（0，-4）；
（2）若P為直線a上一動點，請求出△PBA周長的最小值和此時P點坐標；
（3）若M為直線a上一動點，且S_△ABC=S_△MAB，請求出M點坐標．

Answer 1

分析 （1）根據點關于已知直線對稱的點的特點即可得到結論；
（2）由B、E關于直線a對稱，得到PB=PE，于是得到△PBA周長=AB+BP+PA=AB+PE+PA，根據兩點之間線段最段，于是得到△PBA周長的最小值=AB+AE=$\sqrt{5}+\sqrt{17}$，求得直線AE的解析式：y=-4x-4，即可得到結論；
（3）設M（m，-1），由S_△ABC=S_△MAB，得到點M在過C且平行于AB的直線上，通過直線AB的解析式為：y=2x+2，設直線CM的解析式為：y=2x+n，即可得到結論．

解答 解：（1）∵B（0，2），D（0，-1），
∴BD=3，
∵直線a為過點D（0，-1）且平行于x軸的直線．
∴BD⊥直線a，
∴點B關于直線a對稱的點E的坐標（0，-4）；
故答案為：（0，-4）；

（2）∵B、E關于直線a對稱，
∴PB=PE，
∴△PBA周長=AB+BP+PA
=AB+PE+PA
∵兩點之間線段最段，
∴△PBA周長的最小值=AB+AE=$\sqrt{5}+\sqrt{17}$，
∴直線AE的解析式：y=-4x-4，
當y=-1時，x=$-\frac{3}{4}$，
∴P點坐標（$-\frac{3}{4}$，-1）；

（3）設M（m，-1），
當M在第四象限，
∵S_△ABC=S_△MAB，
∴點M在過C且平行于AB的直線上，
∵直線AB的解析式為：y=2x+2，
設直線CM的解析式為：y=2x+n，
∴0=2×3+n，
∴n=-6，
∴直線CM的解析式為：y=2x-6，
∴m=$\frac{5}{2}$，
∴M（$\frac{5}{2}$，-1），
當M在第三象限，
直線AB與直線a交于G（-$\frac{3}{2}$，-1），
∴$\frac{1}{2}$×（-$\frac{3}{2}$-m）×（2+1）-$\frac{1}{2}$×（-$\frac{3}{2}$-m）×1=$\frac{1}{2}$×4×2，
∴m=-5.5，
∴M（-5.5，-1）．

點評 此題主要考查了軸對稱--最短路線問題，坐標與圖形的性質，待定系數法求函數的解析式，正確的理解題意是解題的關鍵．