Question

12．如圖，拋物線y=x²+bx-c與x軸交A（-1，0）、B（3，0）兩點，直線l與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2．
（1）求拋物線及直線AC的函數表達式；
（2）點M是線段AC上的點（不與A，C重合），過M作MF∥y軸交拋物線于F，若點M的橫坐標為m，請用m的代數式表示MF的長；
（3）在（2）的條件下，連接FA、FC，是否存在m，使△AFC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點A和點B的坐標代入拋物線解析式求出b和c的值即可求出拋物線解析式；再把點C的橫坐標代入已求出的拋物線解析式可求出其縱坐標，進而可求出直線AC的表達式；
（2）已知點M的橫坐標為m，點M又在直線AB上，所以可求出其縱坐標，而點F在拋物線上，所以可求出其縱坐標，進而可用m的代數式表示MF的長；
（3）存在m，使△AFC的面積最大，設直線MF與x軸交于點H，作CE⊥MF于E，由S_△AFC=$\frac{1}{2}$MF（AH+CE），可得關于m的二次函數關系式，根據函數的性質即可求出△AFC的最大值．

解答 解：（1）把A（-1，0）、B（3，0）帶入y=x²+bx-c得$\left\{\begin{array}{l}{0=1+b-c}\\{0=9+3b-c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴解析式為：y=x²-2x-3，
把x=2帶入y=x²-2x-3得y=-3，
∴C（2，-3），
設直線AC的解析式為y=kx+m，把A（-1，0）、C（2，-3）帶入得$\left\{\begin{array}{l}{0=k+m}\\{-3=2k+m}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{m=-1}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-x-1；
（2）∵點M在直線AC上，
∴M的坐標為（m，-m-1）；
∵點F在拋物線y=x²-2x-3上，
∴F點的坐標為（m，m²-2m-3），
∴MF=（-m-1）-（ m²-2m-3）=-m²+m+2；
（3）存在m，使△AFC的面積最大，理由如下：
設直線MF與x軸交于點H，作CE⊥MF于E，
S_△AFC=$\frac{1}{2}$MF（AH+CE）=$\frac{1}{2}$MF（2+1）=$\frac{3}{2}$MF，
=$\frac{3}{2}$（-m²+m+2），
=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{27}{8}$≤$\frac{27}{8}$
∴當m=$\frac{1}{2}$時，△AFC的面積最大為$\frac{27}{8}$．

點評 本題考查了和二次函數有關的綜合性題目，考查的知識點有：函數解析式的確定、函數圖象交點坐標的求法、二次函數性質的應用以及圖形面積的解法．（3）的解法較多，也可通過圖形的面積差等方法來列函數關系式，可根據自己的習慣來選擇熟練的解法．