Question

2．已知：如圖，平面直角坐標系中，A（0，8），B（0，4），點C是x軸上一點，點D為OC的中點．
（1）求證：BD∥AC；
（2）若點C在x軸正半軸上，且BD與AC的距離等于2，求點C的坐標；
（3）如果OE⊥AC于點E，當四邊形ABDE為平行四邊形時，求直線AC的解析式．

Answer 1

分析 （1）由A與B的坐標求出OA與OB的長，進而得到B為OA的中點，而D為OC的中點，利用中位線定理即可得證；
（2）如圖1，作BF⊥AC于點F，取AB的中點G，確定出G坐標，由平行線間的距離相等求出BF的長，在直角三角形ABF中，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半求出FG的長，進而確定出三角形BFG為等邊三角形，即∠BAC=30°，設OC=x，則有AC=2x，利用勾股定理表示出OA，根據OA的長求出x的值，即可確定出C坐標；
（3）如圖2，當四邊形ABDE為平行四邊形時，AB∥DE，進而得到DE垂直于OC，再由D為OC中點，得到OE=CE，再由OE垂直于AC，得到三角形AOC為等腰直角三角形，求出OC的長，確定出C坐標，設直線AC解析式為y=kx+b，將A與C坐標代入求出k與b的值，即可確定出AC解析式．

解答 解：（1）∵A（0，8），B（0，4），
∴OA=8，OB=4，點B為線段OA的中點，
∵點D為OC的中點，即BD為△AOC的中位線，
∴BD∥AC；

（2）如圖1，作BF⊥AC于點F，取AB的中點G，則G（0，6），
∵BD∥AC，BD與AC的距離等于2，
∴BF=2，
∵在Rt△ABF中，∠AFB=90°，AB=4，點G為AB的中點，
∴FG=BG=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴△BFG是等邊三角形，∠ABF=60°．
∴∠BAC=30°，
設OC=x，則AC=2x，
根據勾股定理得：OA=$\sqrt{A{C}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$x，
∵OA=8，
∴x=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∵點C在x軸的正半軸上，
∴點C的坐標為（$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，0）；

（3）如圖2，當四邊形ABDE為平行四邊形時，AB∥DE，
∴DE⊥OC，
∵點D為OC的中點，
∴OE=EC，
∵OE⊥AC，
∴∠OCA=45°，
∴OC=OA=8，
∵點C在x軸的正半軸上，
∴點C的坐標為（8，0），
設直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0）．
將A（0，8），C（8，0）得：
$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=8}\end{array}\right.$．
∴直線AC的解析式為y=-x+8．

點評 此題屬于一次函數綜合題，涉及的知識有：三角形中位線定理，坐標與圖形性質，待定系數法求一次函數解析式，平行四邊形的性質，等邊三角形的性質，勾股定理，含30度直角三角形的性質，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．