Question

10．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，過點B作BE⊥CD，垂足為E，連接AE，F為AE上的一點，且∠BFE=∠C．
（1）求證：△ABF∽△EAD；
（2）若BC=4，AB=3$\sqrt{3}$，BE=3，求BF的長．

Answer 1

分析 （1）可通過證明∠BAF=∠AED，∠AFB=∠D，證得△ABF∽△EAD；
（2）根據（1）的相似三角形可得出關于AB，AE，AD，BF的比例關系，有了AD，AB的長，只需求出AE的長即可．可在直角三角形ABE中用勾股定理求出AE的長，這樣就能求出BF的長了．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠BAF=∠AED，∠D+∠C=180°，
∵∠AFB+∠BFE=180°，∠BFE=∠C，
∴∠AFB+∠C=180°，
∴∠D=∠AFB，
∴△ABF∽△EAD；

（2）解：∵AB∥CD，BE⊥CD，
∴∠ABE=90°
∵AB=3$\sqrt{3}$，BE=3，
∴在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=6，
∵△ABF∽△EAD，
∴$\frac{BF}{AD}=\frac{AB}{AE}$，
∴BF=2$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，等角的補角相等，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．