Question

11．數學活動--探究特殊的平行四邊形．
問題情境?
如圖，在四邊形ABCD中，AC為對角線，AB=AD，BC=DC．請你添加條件，使它們成為特殊的平行四邊形．
提出問題
（1）第一小組添加的條件是“AB∥CD”，則四邊形ABCD是菱形．請你證明；
（2）第二小組添加的條件是“∠B=90°，∠BCD=90°”，則四邊形ABCD是正方形．請你證明．

Answer 1

分析 （1）先根據SSS定理得出△ABC≌△ADC，故可得出∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA．再由AB∥CD可得出∠BAC=∠DCA，根據等邊對等角可得出四邊形的四條邊均相等，進而可得出結論；
（2）根據△ABC≌△ADC得出∠D=∠B，再由∠BCD=90°得出四邊形ABCD是矩形，根據BC=DC可得出結論．

解答 （1）證明：在△ABC與△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=AD\\ BC=DC\\ AC=AC\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA．
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∴∠BAC=∠DCA=∠BCA=∠DAC，
∴AB=BC，DA=DC．
∵AB=AD，
∴AB=BC=CD=DA，
∴四邊形ABCD是菱形；

（2）解：在△ABC與△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=AD\\ BC=DC\\ AC=AC\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠D=∠B．
∵∠B=90°，
∴∠D=∠B=90°．
∵∠D=∠B=90°，
∵∠BCD=90°，
∴四邊形ABCD是矩形．
∵BC=DC，
∴矩形ABCD是正方形．

點評 本題考查的是菱形的判定，涉及到全等三角形的判定與性質、矩形及正方形的判定等知識，難度適中．