Question

6．如圖，長方形OABC的邊OC、OA分別在x軸、y軸上，點B的坐標為（$\sqrt{3}$，1）點D是AB邊上一個動點（與點A不重合），沿OD將△OAD對折后，點A落到點P處，并滿足△PCB是等腰三角形，則P點坐標為（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）或（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 連接PB，PC．分三種情況：①若PB=PC，設P（x，$\frac{1}{2}$），過P作PH⊥x軸于H．在Rt△OPH中根據勾股定理解得x，從而確定P點坐標；②若BP=BC，則BP=1，連接OB．在Rt△OBC中根據勾股定理求出OB，從而得出P為線段OB中點，求出P點坐標；③若CP=CB，則CP=1，PO=PC，P在OC中垂線上．設P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，y），過P作PH⊥x軸于H，在Rt△OPH中根據勾股定理求出P點坐標即可．

解答 解：連接PB，PC，
①若PB=PC，則P在BC的中垂線y=$\frac{1}{2}$上，
∴設P（x，$\frac{1}{2}$），
如圖，過P作PH⊥x軸于H，
在Rt△OPH中，PH=$\frac{1}{2}$，OH=x，OP=1，
∴x²+$\frac{1}{4}$=1，
解得：x₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x₂=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（不合題意），
∴P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
②若BP=BC，則BP=1，連接OB，
∵OP=1，
∴OP+PB=2，
∵在Rt△OBC中，∠OCB=90°，OB=$\sqrt{3+1}$=2，
∴OP+PB=OB，
∴O，P，B三點共線，P為線段OB中點．
又∵B（$\sqrt{3}$，1），
∴P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
③若CP=CB，則CP=1，
∵OP=1，
∴PO=PC，則P在OC的中垂線x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$上，
∴設P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，y）．
過P作PH⊥x軸于H，在Rt△OPH中，PH=|y|，OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OP=1，
∴y²+$\frac{3}{4}$=1，
解得：y₁=$\frac{1}{2}$，y₂=-$\frac{1}{2}$，
∴P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）或（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
當點P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）時，∠AOP=120°，此時∠AOD=60°，點D與點B重合，符合題意．
故答案為：（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）或（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

點評 本題是折疊問題，主要考查了矩形的性質，等腰三角形的性質以及勾股定理的運用，解決問題的關鍵是作輔助線構造直角三角形，運用分類思想進行分類討論．