Question

2．如圖，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D是△ABC內的一點，且AD=CD，BD=BA．
（1）∠ABC=45°．
（2）依題中條件尺規作圖補全圖形．（不寫作法，但保留作圖痕跡）
（3）求∠CBD的角度．

Answer 1

分析 （1）根據等腰直角三角形的性質即可解決問題．
（2）作線段AC的垂直平分線MN，以B為圓心BA為半徑畫弧交MN于D，連接CD、AD、BD即可．
（3）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．只要證明BD=2DM，推出∠ABD=30°即可解決問題．

解答 解：（1）∵AC=AB，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
故答案為45°．

（2）如圖所示，點D即為所求．

（3）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．
∵∠DNA=∠NAM=∠DMA=90°，
∴四邊形DNAM是矩形，
∴AN=DM，
∵DC=DA，DN⊥AC，
∴CN=AN=DN，
∵AC=AB=BD，
∴DM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD，
∴∠ABD=30°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=15°．

點評 本題考查作圖-復雜作圖、等腰直角三角形的性質、線段垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，記住直角三角形中，如果斜邊等于直角邊的兩倍，這條直角邊所對的銳角為30°，屬于中考�？碱}型．