Question

12．已知，點(diǎn)P是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），分別過點(diǎn)A、C向直線BP作垂線，垂足分別為點(diǎn)E、F，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)．

（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，如圖1，說明：OE=OF
（2）若直線BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（點(diǎn)P在對(duì)角線AC上），如圖2，（1）中的結(jié)論是否成立？說明理由．
（3）直線BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)圖3的位置（點(diǎn)P在對(duì)角線AC的延長線上），若∠OFE=30°，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

Answer 1

分析 （1）證明△AOE≌△COF即可得出結(jié)論；
（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△AOE≌△CGO，得OE=OG，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出結(jié)論；
（3）FC+AE=OE，理由是：作輔助線，構(gòu)建全等三角形，與（2）類似，同理得：△AOE≌△COG，OF=$\frac{1}{2}$EG=OE=OG，再利用∠OFE=30°，得△GOF是等邊三角形，根據(jù)邊長相等可以得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF；
（2）如圖2，（1）中的結(jié)論仍然成立，理由是：
延長EO交CF于G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠EAO=∠OCG，
∵AO=OC，∠AOE=∠COG，
∴△AOE≌△COG，
∴EO=OG，
在Rt△EFG中，F(xiàn)O=$\frac{1}{2}$EG=OE；
（3）FC+AE=OE，理由是：
如圖3，延長EO、FC交于G，
同理得：△AOE≌△COG，
∴OE=OG，AE=CG，
在Rt△EGF中，OF=$\frac{1}{2}$EG=OE=OG，
∵∠OFE=30°，
∴∠OEF=∠OFE=30°，
∴∠GOF=60°，
∴△GOF是等邊三角形，
∴FG=OG，
∴FC+CG=OG，
∴FC+AE=OE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形、全等三角形的性質(zhì)和判定以及等腰三角形的性質(zhì)和判定，以構(gòu)建全等三角形和證明三角形全等這突破口，利用平行四邊形的對(duì)角線互相平分得全等的邊相等的條件，從而使問題得以解決．