Question

類比梯形的定義，我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．

（1）已知：如圖1，四邊形ABCD是“等對角四邊形”，∠A≠∠C，∠A＝70°，∠B＝80°．求∠C，∠D的度數．

（2）在探究“等對角四邊形”性質時：

①小紅畫了一個“等對角四邊形”ABCD（如圖2），其中∠ABC＝∠ADC，AB＝AD，此時她發現CB＝CD成立．請你證明此結論；

②由此小紅猜想：“對于任意‘等對角四邊形’，當一組鄰邊相等時，另一組鄰邊也相等”．你認為她的猜想正確嗎?若正確，請證明；若不正確，請舉出反例．

（3）已知：在“等對角四邊形"ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC=90°，AB＝5，AD＝4．求對角線AC的長．

 

 

Answer 1

（1）130°，80°；（2）①證明見解析；②不正確，反例見解析；（3）或．

【解析】

試題分析：（1）根據定義和四邊形內角和定理求解即可．

（2）①連接BD，根據定義以及等腰三角形的判定和性質求證即可．

②當相等角的兩邊相等時，結論不正確．

（3）分∠ADC＝∠ABC＝90°和∠BCD＝∠DAB＝60°兩種情況討論即可．

試題解析：（1）∵等對角四邊形ABCD中，∠A≠∠C，∠B＝80°，∴∠Ｄ＝∠B＝80°．

∵∠A＝70°，∴．

（2）①如圖，連接BD，

∵AB＝AD，∴．

∵，∴．

∴CB＝CD．

②不正確，反例如圖，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD，但CB≠CD．

（3）①如圖，當∠ADC＝∠ABC＝90°時，延長AD,BC交于點F，

∵∠ABC＝90°，∠DAB＝60°，AB=5，∴AE=10．

∴．

∵∠EDC＝90°，∠E＝30°，∴．

∴．

②如圖，當∠BCD＝∠DAB＝60°時，過D點作DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，

∵DE⊥AB，∠DAB＝60°，AD＝4，∴．

∴．

∵四邊形BFDE是矩形，∵．

∵∠BCD＝60°，∴．∴．

∴

考點：1．新定義和閱讀理解型問題；2．四邊形內角和定理；3．等腰三角形的判定和性質；4．勾股定理；5．含30度角直角性質；6．分類思想和反證法的應用．