Question

已知一次函數y=

1

2

x+1的圖象與x軸交于點A．與y軸交于點B；二次函數y=

1

2

x2+bx+c圖象與一次函數y=

1

2

x+1的圖象交于B、C兩點，與x軸交于D、E兩點且D的坐標為（1，0）
（1）求二次函數的解析式；
（2）在x軸上是否存在點P，使得△PBC是直角三角形？若存在，求出所有的點P，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知，一次函數y=

1

2

x+1的圖象與y軸交于點B，二次函數y=

1

2

x2+bx+c圖象與一次函數y=

1

2

x+1的圖象交于B、C兩點，結合圖象可得出B點的坐標為：（0，1），D的坐標為（1，0），可直接求出解析式．
（2）假設存在這樣的一點，當頂點不同時，分三種情況討論．

解答：解：（1）∵由題意知：當x=0時，y=1，∴B（0，1），
由D點的坐標為（1，0）當x=1時，y=0
∴

c=1 1 2 +b+c=0

解得

c=1 b=- 3 2

，
所以y=

1

2

x2-

3

2

x+1

（2）存在；設P（a，0），

①P為直角頂點時，如圖，過C作CF⊥x軸于F，∵Rt△BOP∽Rt△PFC，
由題意得，AD=3，OD=1，易知，OB∥CF，
∴

BO

PF

=

OP

CF

．即

1

4-a

=

a

3

，
整理得：a²-4a+3=0，解得a=1或a=3，
此時所求P點坐標為（1，0）或（3，0）．
②若B為直角頂點，則有PB²+BC²=PC²
既有1²+a²+4²+2²=3²+（4-a）²
解得a=0.5此時所求P點坐標為（0.5，0）
③若C為直角頂點，則有PC²+BC²=PB²
既有3²+（4-a）²+4²+2²=1²+a²
解得a=5.5此時所求P點坐標為（5.5，0）

綜上所述，滿足條件的點P有四個，分別是（1，0）（3，0）（0.5，0）（5.5，0）．

點評：此題主要考查了（1）利用一次函數與y軸交于點B，D的坐標為（1，0），用兩點即可求出二次函數的解析式，
（2）二次函數綜合應用問題和直角三角形的綜合應用．