Question

如圖，已知一次函數y=-x+8和反比例函數y=

k

x

（k≠0）的圖象在第一象限內有兩個不同的公共點A、B．
（1）求實數k的取值范圍；
（2）若k=12，求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）先由兩解析式組成方程組，消去y得到關于x的一元二次方程x²-8x+k=0，根據題意得到此方程有兩個不相等的實數根，則△=8²-4×k＞0，然后解不等式即可；
（2）先解方程組

y=-x+8 y= 12 x

可確定A點坐標為（2，6），B點坐標為（6，2），再確定C點坐標為（0，8），然后利用S_△AOB=S_△BOC-S_△AOC和三角形面積公式計算即可．

解答：解：（1）由

y=-x+8 y= k x

得-x+8=

k

x

，
整理得x²-8x+k=0，
∵方程組有兩組解，
∴△=8²-4×k＞0，
∴k＜16；

（2）解方程組

y=-x+8 y= 12 x

得

x=2 y=6

或

x=6 y=2

，
∴A點坐標為（2，6），B點坐標為（6，2），
把x=0代入y=-x+8得y=8，則C點坐標為（0，8），
∴S_△AOB=S_△BOC-S_△AOC=

1

2

×8×6-

1

2

×8×2=16．

點評：本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：求反比例函數與一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．