Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=-

1

2

x2+bx-2的圖象與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點（A點在B點右側），一次函數y=mx+n（m≠0）的圖象經過A、C兩點，已知tan∠BAC=

1

2

．
（1）求該二次函數和一次函數的解析式；
（2）連接BC，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）由二次函數y=-

1

2

x2+bx-2的解析式可求出和y軸交點的坐標即點C的坐標，由已知條件求出OA的長度進而求出點A的坐標，把A，C的坐標分別代入即可求出二次函數和一次函數的解析式；
（2）令y=0，求出B點的坐標即OB的長度，所以AB的長度可以求出，又因為AB上的高為OC，利用面積公式即可求出△ABC的面積．

解答：解：（1）在y=-

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2

x2+bx-2中，
令x=0，得y=-2，
∴C（0，-2），
∴OC=2，
在Rt△AOC中，OA=

OC

tan∠BAC

=4，
∴A（4，0）．
∵y=-

1

2

x2+bx-2過A（4，0），
∴0=-

1

2

×42+b×4-2，
∴b=

5

2

，
∴y=-

1

2

x2+

5

2

x-2．
∵y=mx+n（m≠0）過A（4，0）、C（0，-2），
∴

0=4m+n -2=n

，
∴

m= 1 2 n=-2

．
∴y=

1

2

x-2；

（2）在y=-

1

2

x2+

5

2

x-2中，
令y=0，得x₁=1，x₂=4，
∴B（1，0），
∴OB=1，
∴AB=OA-OB=3，
∴S_△ABC=

1

2

×AB•OC=

1

2

×3×2=3．

點評：本題考查了二次函數和一次函數的交點問題，解答本題的關鍵是進行數形結合進行解題，要熟練掌握二次函數和一次函數的性質，本題是一道比較不錯的習題．