Question

16．如圖，在直角坐標系中，長方形紙片ABCD的邊AB∥CO，點B坐標為（9，3），若把圖形按如圖所示折疊，使B、D兩點重合，折痕為EF．
（1）求證：△DEF為等腰三角形；
（2）求折痕EF的長．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是矩形，可得AB∥OC，又由折疊的性質可得：∠BEF=∠OEF，即可證得∠OEF=∠OFE，則可得OE=OF；
（2）首先設BE=OE=x，則AE=9-x，可得方程（9-x）²+3²=x²，繼而求得點E，F的坐標，即可求得折痕EF的長．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥OC，
∴∠BEF=∠OFE，
由折疊的性質可得：∠BEF=∠OEF，
∴∠OEF=∠OFE，
∴OE=OF，
∴△OEF是等腰三角形；
（2）設BE=OE=x，則AE=9-x，
在Rt△AEO中，AE²+OA²=OE²，
∴（9-x）²+3²=x²，
解得：x=5，
∴OF=OE=5，AE=4，
∴E（4，3），F（5，0），
∴EF=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了翻折變換的性質，等腰三角形的判定與性質，熟記性質并利用勾股定理列出方程是解題的關鍵．