Question

9．如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD，
（1）證明：Rt△BCE≌Rt△DCF；
（2）若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）易證∠CFD=90°，∠CEB=90°，CE=CF，即可證明Rt△BCE≌Rt△DCF；
（2）易求CF=CE，即可證明Rt△ACF≌Rt△ACE，可得AF=AE，根據(jù)DF=BE，即可求得AE的長(zhǎng)，可求得BE的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理即可求得CE的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可求得AC的長(zhǎng)，即可解題．

解答 （1）證明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠CFD=90°，∠CEB=90°，CE=CF，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）；
（2）解：∵AC平分∠BAD，CF⊥AF，CE⊥AE，
∴CF=CE，
在Rt△ACF和Rt△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{CF=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），
∴AF=AE，
∵Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴DF=BE，
∴AF+AE=AE+BE+AF-DF=AB+AD=30，
∴AE=15，
∴BE=6，
∵CE=$\sqrt{B{C}^{2}-B{E}^{2}}$=8，
∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=17．
答：AC的長(zhǎng)為17．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證Rt△BCE≌Rt△DCF和Rt△ACF≌Rt△ACE是解題的關(guān)鍵．