Question

19．如圖，在平面直角坐標系中，△AOB的頂點A，B分別在y=$\frac{-3}{x}$（x＜0）和y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，AB與y軸交于點C，OC平分∠AOB，若$\frac{OA}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則k的值是（　　）

• A． 3
• B． 9
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 9$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 過點A作AD⊥x軸于點D，過點B作BE⊥x軸于點E，由OC平分∠AOB可得出∠AOC=∠BOC，進而得出∠AOD=∠BOE，結合∠ADO=∠BEO=90°即可證出△AOD∽△BOE，根據相似三角形的性質即可得出$\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△BOE}}$=$\frac{1}{3}$，再根據反比例函數系數k的幾何意義即可得出$\frac{3}{k}$=$\frac{1}{3}$，解之即可得出結論．

解答 解：過點A作AD⊥x軸于點D，過點B作BE⊥x軸于點E，如圖所示．
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠AOD=∠BOE．
∵∠ADO=∠BEO=90°，
∴△AOD∽△BOE．
∵$\frac{OA}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△BOE}}$=$\frac{1}{3}$．
∵點A，B分別在y=$\frac{-3}{x}$（x＜0）和y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴$\frac{3}{k}$=$\frac{1}{3}$，
∴k=9．
故選B．

點評 本題考查了角平分線的定義、相似三角形的判定與性質以及反比例函數系數k的幾何意義，依照相似三角形的性質找出$\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△BOE}}$=$\frac{1}{3}$是解題的關鍵．