Question

3．已知：如圖，線段AB和射線BM交于點(diǎn)B．
（1）利用尺規(guī)完成以下作圖，并保留作圖痕跡（不寫作法）．
①在射線BM上作一點(diǎn)C，使AC=AB；
②作∠ABM的角平分線交AC于D點(diǎn)；
③在射線CM上作一點(diǎn)E，使CE=CD，連接DE．
（2）在（1）所作的圖形中，猜想線段BD與DE的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）①以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧交BC于C；②根據(jù)角平分線的作法作∠ABM的角平分線；③以C為圓心CD長(zhǎng)為半徑畫弧交CM于E，再連接ED即可；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠ABC=∠4，∠2=∠3，然后再證明∠1=∠3，根據(jù)等角對(duì)等邊可得BD=DE．

解答 解：（1）如圖所示：

（2）BD=DE，
證明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠4．
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠4．
∵CE=CD，
∴∠2=∠3．
∵∠4=∠2+∠3，
∴∠3=$\frac{1}{2}$∠4．
∴∠1=∠3．
∴BD=DE．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了復(fù)雜作圖，以及等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是正確畫出圖形，掌握等邊對(duì)等角和等角對(duì)等邊．