Question

15．如圖所示，直線y=x與拋物線  y=x²-x-3交于A，B兩點，點P是拋物線上的一個動點，點P作PQ⊥x軸交直線y=x于點Q，設點P的橫坐標為m，則線段PQ的長度隨著m的增大而減小時m的取值范圍是m＜-1或1＜m＜3．

Answer 1

分析 可用m分別表示出P、Q的坐標，則可用m表示出PQ的長，再利用二次函數的性質可求得答案．

解答 解：
聯立直線和拋物線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y={x}^{2}-x-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴A（-1，-1），B（3，3），
∵點P在拋物線上，點Q在直線y=x上，且點P的橫坐標為m，
∴P（m，m²-m-3），Q（m，m），
當m＜-1或m＞3時，可知點P在點Q上方，
∴PQ=m²-m-3-m=m²-2m+4=（m-1）²-4，
∴當m＜1時PQ的長度隨m的增大而減小；
當-1＜m＜3時，可知點Q在點P上方，
∴PQ=m-（m²-m-3）=-m²+2m+3=-（m-1）²+4，
此時拋物線開口向下，對稱軸為m=1，
∴當1＜m＜3時，PQ隨m的增大而減小，
綜上可知m的取值范圍為：m＜-1或1＜m＜3，
故答案為：m＜-1或1＜m＜3．

點評 本題主要考查二次函數的性質，利用m表示出PQ的長度是解題的關鍵，注意分類討論．