Question

7．如圖1，四邊形ABCD是正方形，點G是BC邊上任意一點．DE⊥AG于點E，BF∥DE且交AG于點F．
（1）求證：AE=BF；
（2）如圖2，如果點G是BC延長線上一點，其余條件不變，則線段AF、BF、EF有什么數量關系？請證明出你的結論．

Answer 1

分析 （1）根據正方形的四條邊都相等可得DA=AB，再根據同角的余角相等求出∠BAF=∠ADE，然后利用“角角邊”證明△ABF和△DAE全等，再根據全等三角形對應邊相等可得BF=AE，AF=DE，然后根據圖形列式整理即可得證；
（2）根據題意作出圖形，然后根據（1）的結論可得BF=AE，AF=DE，然后結合圖形寫出結論即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，
∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△ABF和△DAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠ADE}\\{∠AFB=∠DEA=90°}\\{DA=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，AF=DE，
（2）AF+BF=EF；
∵四邊形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，
∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△ABF和△DAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠ADE}\\{∠AFB=∠DEA=90°}\\{DA=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，AF=DE，
∴AF+EF=BF．

點評 本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，熟記正方形的四條邊都相等，每一個角都是直角，然后求出三角形全等是解題的關鍵．