Question

18．如圖，菱形EFGH的三個頂點E、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、CD、DA上，連接CF．
（1）求證：∠HEA=∠CGF；
（2）當AH=DG時，求證：菱形EFGH為正方形．

Answer 1

分析 （1）連接GE，根據(jù)正方形的性質和平行線的性質得到∠AEG=∠CGE，根據(jù)菱形的性質和平行線的性質得到∠HEG=∠FGE，解答即可；
（2）證明Rt△HAE≌Rt△GDH，得到∠AHE=∠DGH，證明∠GHE=90°，根據(jù)正方形的判定定理證明．

解答 證明：（1）連接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠CGE，
∵GF∥HE，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠HEA=∠CGF；

（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D=∠A=90°，
∵四邊形EFGH是菱形，
∴HG=HE，
在Rt△HAE和Rt△GDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=DG}\\{HE=HG}\end{array}\right.$，
∴Rt△HAE≌Rt△GDH（HL），
∴∠AHE=∠DGH，又∠DHG+∠DGH=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHE=90°，
∴菱形EFGH為正方形；

點評 本題考查的是正方形的性質、菱形的性質、全等三角形的判定和性質，正確作出輔助線、靈活運用相關的性質定理和判定定理是解題的關鍵．