Question

10．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，分別過點A，C作AE∥DC，CE∥AB，兩線交于點E．
（1）求證：四邊形AECD是菱形；
（2）若∠B=60°，BC=2，求四邊形AECD的面積．

Answer 1

分析 （1）直接利用平行四邊形的判定方法得出四邊形AECD是平行四邊形，再利用直角三角形的性質(zhì)得出CD=AD，即可得出四邊形AECD是菱形；
（2）利用菱形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)得出AC，ED的長，進而得出菱形面積．

解答 （1）證明：∵AE∥DC，CE∥AB，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，
∴CD=AD，
∴四邊形AECD是菱形；

（2）解：連接DE．
∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°
∴AB=4，AC=2$\sqrt{3}$，
∵四邊形AECD是菱形，
∴EC=AD=DB，
  又∵EC∥DB
∴四邊形ECBD是平行四邊形，
∴ED=CB=2，
∴S_菱形AECD=$\frac{AC×ED}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}×2}{2}$=2$\sqrt{3}$．

點評 此題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，正確利用菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．