Question

14．在矩形ABCD中有一個菱形BEDF（點E、F分別在線段AB、CD上）記它們的面積分別為S_矩形ABCD和S_菱形BEDF，若S_矩形ABCD：S_菱形BFDE=（2+$\sqrt{3}$）：2，給出如下結論：①AB：BE=（2+$\sqrt{3}$）：2；②AE=BE；③tan∠EDF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；④∠FBC=60°．其中正確的結論的序號是①③④（把所有正確結論的序號都填在橫線上）

Answer 1

分析 由圖可得矩形的寬和菱形的高相等，根據它們的面積關系即可得出AB：BE的值；根據AE：BE=（2+$\sqrt{3}$）：2，可得AE=BE錯誤；由菱形的性質得出DE∥BF，DE=BE，得出∠BFC=∠EDF，由三角函數求出∠ADE=60°，得出∠ADC=∠C=90°，求出∠EDF=30°，即可得到tan∠EDF的值；根據∠BFC=30°，即可得出∠FBC=60°；最后得出正確的結論．

解答 解：如圖所示，∵S_矩形ABCD：S_菱形BFDE=$\frac{AB•BC}{BE•BC}$=（2+$\sqrt{3}$）：2，
∴AB：BE=（2+$\sqrt{3}$）：2，
故①正確；
∵AB：BE=（2+$\sqrt{3}$）：2，
∴AE：BE=$\sqrt{3}$：2，
故②錯誤；
∵四邊形BFDE是菱形，
∴DE∥BF，DE=BE，
∴∠BFC=∠EDF，
∵sin∠ADE=$\frac{AE}{DE}$=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠ADE=60°，
∵∠ADC=∠C=90°，
∴∠EDF=90°-60°=30°，
∴tan∠EDF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故③正確；
∵DE∥BF，
∴∠BFC=30°，
∴∠FBC=90°-30°=60°，
故④正確；
綜上所述，正確的結論為①③④．
故答案為：①③④．

點評 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質、菱形的性質、三角函數等知識的綜合應用，熟練掌握矩形和菱形的性質，由矩形和菱形的性質得出AB：BE的值是解決問題的關鍵．