Question

2．如圖，矩形ABCD中，BC=2，將矩形ABCD繞點D順時針旋轉90°，點A，C分別落在點A′、C′處，并且點A′，C′，B在同一條直線上，則tan∠ABA′的值為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 設AB=x，由矩形的性質和旋轉的性質可知AB=C'D=x，A'C=A'D+CD=x+2，由已知條件易證△AC'D∽△ABC，由相似三角形的性質可求出x的值，在直角三角形ABC'中即可求出tan∠ABA′的值．

解答 解：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，∠A=90°，C'D∥BC，
∵將矩形ABCD繞點D順時針旋轉90°，
∴AB=C'D，BC=B'C'=AD=2，
設AB=x，則AB=C'D=x，A'C=A'D+CD=x+2，
∵C'D∥BC，
∴△AC'D∽△ABC，
∴C'D：BC=AD：DC，
即x：2=2：x+2，
解得：x=-1+$\sqrt{5}$或x=-1-$\sqrt{5}$（小于0，不合題意，舍去），
∴AC'=2-C'D=2-（-1+$\sqrt{5}$）=3-$\sqrt{5}$
∴tan∠ABA′=$\frac{AC′}{AB}$=$\frac{3-\sqrt{5}}{-1+\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點評 本題主要考查矩形的性質、旋轉的性質及三角函數的定義，利用旋轉的性質和相似三角形的性質求得矩形的寬是解題的關鍵．