Question

如圖，點A，B在反比例函數y=

2

x

（x＞0）的圖象上，△OAB是以OA為斜邊的等腰直角三角形，則△OAB的面積為

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,反比例函數圖象上點的坐標特征

專題：

分析：過B作x軸的垂線，垂足為C，過A作y軸的垂線，垂足為D，直線AD交BC于E，設B（a，b），先證明△ABE≌△BOC，得出BE=CO=a，AE=BC=b，根據點A、D是反比例函數上的點，得出有關三角形的面積，通過解方程組求出b²=-1+

5

，a²=1+

5

，即可得出結果．

解答： 解：過B作x軸的垂線，垂足為C，過A作y軸的垂線，垂足為D，直線AD交BC于E，如圖所示：
設B（a，b），
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴AB=OB，∠ABO=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
在△ABE和△BOC中，

∠2=∠3   ∠BCO=∠AEB=90°   AB=BC

，
∴△ABE≌△BOC（AAS），
∴BE=CO=a，AE=BC=b，
∴AD=a-b，OD=a+b，
∴A（a-b，a+b），
∵S_△OAD=

1

2

（a+b）（a-b）=

1

2

×2=1，S_△OBC=

1

2

ab=1，
∴

a2-b2=2 ab=2

，
解得b²=-1+

5

，a²=1+

5

，
∴S_△OAB=S_矩形OCED-S_OBC-S_△OAD-S_△ABE
=a（a+b）-1-1-1
=a²+ab-3
=1+

5

+2-3
=

5

．
故答案為：

5

．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質以及反比例函數圖象上點的坐標特征；通過作輔助線構造全等三角形，得出坐標之間的關系，通過解方程組求出答案是解題的關鍵．