Question

8．已知：△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，點D是邊AB上的一點，過C，D兩點的⊙O分別與邊CA，CB交于點E，F(xiàn)．

（1）若點D是AB的中點，
①在圖1中用尺規(guī)作出一個符合條件的圖形（保留作圖痕跡，不寫作法）；
②如圖2，連結(jié)EF，若EF∥AB，求線段EF的長；
③請寫出求線段EF長度最小值的思路．
（2）如圖3，當點D在邊AB上運動時，線段EF長度的最小值是$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 （1）①先作出CD的垂直平分線，即可作出圖形；
②先判斷出△ABC是直角三角形，即可得出，EF是⊙O的直徑，再用平行線的性質(zhì)和同弧所對的圓周角相等得出∠A=∠CDF，進而得出∠CFD=90°，得出判斷出CD是直徑即可；
③利用圓中直徑大于等于圓中任何一條弦即可得出CD是直徑時，EF最��；
（2）先得出CD⊥AB時，CD最小，即：EF最小，最后用面積公式即可求出．

解答 解：（1）
①如圖1，所示，

②如圖2，連結(jié)CD，F(xiàn)D，
∵AC=6，BC=8，AB=10，
∴AC²+BC²=AB²
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∴EF是⊙O的直徑，
∵D是AB中點，
∴DA=DB=DC=5，
∴∠B=∠DCB，
∵EF∥AB，
∴∠A=∠CEF，
∵∠CDF=∠CEF，
∴∠A=∠CDF，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠CDF+∠DCB=90°，
∴∠CFD=90°，
∴CD是⊙O的直徑，
∴EF=CD=5，


③
由AC²+BC²=AB²可得∠ACB=90°，
所以，EF是⊙O的直徑．
由于CD是⊙O的弦，
所以，有EF≥CD，
所以，當CD是⊙O的直徑時，EF最小，


（2）如圖3，由（1）③知，CD是⊙O的直徑時，EF最小，即：最小值為CD
當點D在邊AB上運動時，只有CD⊥AB時，CD最小，
由（1）②知，△ABC是直角三角形，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CD，
∴AC•BC=AB•CD，
∴CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，
故答案為：$\frac{24}{5}$．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了基本作圖，直角三角形的判定，圓的性質(zhì)，三角形的面積公式，判斷出CD是直徑是EF最小，是解本題的關(guān)鍵，是一道中等難度的中考�？碱}．