Question

（本題滿分10分）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點D是BC上一定點．動點P從C出發，以2cm/s的速度沿C→A→B方向運動，動點Q從D出發，以1cm/s的速度沿D→B方向運動．點P出發5 s后,點Q才開始出發，且當一個點達到B時，另一個點隨之停止．圖2是當時△BPQ的面積S（ cm2）與點P的運動時間t（s）的函數圖象．

（1）CD = , ；

（2）當點P在邊AB上時，為何值時，使得△BPQ與△ABC為相似？

（3）運動過程中，求出當△BPQ是以BP為腰的等腰三角形時的值．

 

Answer 1

（1）2 10．8 （2）或6 （3）5、

【解析】

試題分析：（1）根據函數圖象得到當點P運動到點A時，△BPQ的面積為18，利用三角形面積公式可計算出BD=6，則CD=2，當t=5s時，AP=4，點Q在D點，作PH⊥BC于H，在Rt△ABC中根據勾股定理計算出AB=10，再證明△BPH∽△BAC，利用相似比計算出PH，然后根據三角形面積公式得到S△PBQ，即a=S△PBQ；

（2）分類討論：當3＜t≤5，點Q在D點，BP=16-2t，若PD⊥BC得到△BPQ∽△BAC，利用相似比得t值；當5＜t≤8，DQ=t-5，BQ=11-t，BP=16-2t，當∠PQB=90°時，△BPQ∽△BAC，利用相似比得t值；當∠BPQ=90°時，△BPQ∽△BAC，利用相似比得t值；

（3）PB=16-2t，BQ=11-t，分類討論：當BP=BQ，則16-2t=11-t，解方程得t=5；當PB=PQ，作PM⊥BC于M，根據等腰三角形的性質得則BM=BQ=（11-t），再證明△BPM∽△BAC，利用相似比得t值．

試題解析：（1）當點P運動到點A時，△BPQ的面積為18，

∴×6•BD=18，解得BD=6，

∴CD=BC-BD=2，

當t=5s時，AP=2×5-6=4，點Q在D點，點P在AB上如圖①，作PH⊥BC于H，

在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，

∴AB==10，

∵PH∥AC，

∴△BPH∽△△BAC，

∴，即，解得PH=

∴S△PBQ=×6×=

即a=

故答案為：2，；

（2）點P在邊AB上，

當3＜t≤5，點Q在D點，BP=16-2t，

若PD⊥BC，△BPQ∽△BAC，

∴，即，解得t=；

當5＜t≤8，DQ=t-5，則BQ=8-2-（t-5）=11-t，BP=16-2t，

當∠PQB=90°時，△BPQ∽△BAC，如圖②，

∵△BPQ∽△BAC，

∴=，即=，解得t=3，不合題意舍去；

當∠BPQ=90°時，△BPQ∽△BAC，如圖③，

∵△BPQ∽△BCA，

∴，即，解得t=6，

綜上所述，當t為或6時，△BPQ與△ABC為相似；

 

（3）PB=16-2t，BQ=11-t，

當BP=BQ，則16-2t=11-t，解得t=5；

當PB=PQ，作PM⊥BC于M，如圖④，

則BM=BQ=（11-t），

∵PM∥AC，

∴△BPM∽△BAC，

∴，即，解得t=，

綜上所述，當△BPQ是以BP為腰的等腰三角形時t的值為5或．

考點：函數圖象與性質，等腰三角形，相似三角形，勾股定理