Question

3．如圖1和圖2，AB是⊙O的直徑，AB=10，C是⊙O上的一點，將$\widehat{BC}$沿弦BC翻折，交AB于點D．
（1）若點D與圓心O重合，直接寫出∠B的度數；
（2）設CD交⊙O于點E，若CE平分∠ACB，
①求證：△BDE是等腰三角形；
②求△BDE的面積；
（3）將圖1中的$\widehat{BD}$沿直徑AB翻折，得到圖2，若點F恰好是翻折后的$\widehat{BD}$的中點，直接寫出∠B的度數．

Answer 1

分析 （1）如圖所示：將⊙O沿BC翻折得到⊙O′，則⊙O與⊙O′為等圓，然后證明$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，則可得到$\widehat{AC}$的弧度，從而可求得∠B的度數；
（2）①將⊙O沿BC翻折得到⊙O′，則⊙O與⊙O′為等圓，在⊙O′上取點E′，連接CE′，BE′．由等弧所對的圓周角相等可得到∠CEB=∠E′，依據圓內接四邊形的性質可得到E′=∠BDE，故此可證明∠CEB=∠BDE；②連接OE．先證明∠BOE為直角，依據勾股定理可求得BE的長，從而得到BD的長，最后依據△DBE的面積=$\frac{1}{2}$BD•OE求解即可；
（3）將⊙O沿BC翻折得到⊙O′，將⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，則⊙O、⊙O′、⊙O″為等圓．依據在同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧相等可證明$\widehat{AC}$=$\widehat{DC}$=$\widehat{DF}$=$\widehat{FB}$，從而可得到弧AC的度數，由弧AC的度數可求得∠B的度數．

解答 解：（1）如圖所示：將⊙O沿BC翻折得到⊙O′，則⊙O與⊙O′為等圓．

∵$\widehat{AC}$與$\widehat{CD}$所對的角均為∠CBA，⊙O與⊙O′為等圓，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$．
又∵CD=BC，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$．
又∵$\widehat{CDB}$=$\widehat{CO′B}$，
∴$\widehat{AC}$=$\frac{1}{3}$$\widehat{ACB}$，
∴∠ADC=$\frac{1}{3}$×180°=60°．
∴∠B=30°．

（2）①將⊙O沿BC翻折得到⊙O′，則⊙O與⊙O′為等圓，在⊙O′上取點E′，連接CE′，BE′．

由翻折的性質可知：$\widehat{CFB}$=$\widehat{CDB}$，
∴∠CEB=∠E′．
∵四邊形CDBE′是圓內接四邊形，
∴∠E′=∠BDE．
∴∠CEB=∠BDE．
∴BE=BD．
∴△BDE為等腰三角形．
②如圖2所示：連接OE．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∵CE是∠ACB的角平分線，
∴∠BCE=45°．
∴∠BOE=90°．
在Rt△OBE中，BE=$\sqrt{O{E}^{2}+O{B}^{2}}$=5$\sqrt{2}$．
∴BD=5$\sqrt{2}$．
∴△DBE的面積=$\frac{1}{2}$BD•OE=$\frac{1}{2}$×5$\sqrt{2}$×5=$\frac{25\sqrt{2}}{2}$．

（3）將⊙O沿BC翻折得到⊙O′，將⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，則⊙O、⊙O′、⊙O″為等圓．

∵⊙O與⊙O′為等圓，劣弧AC與劣弧CD所對的角均為∠ABC，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$．
同理：$\widehat{DF}$=$\widehat{CD}$．
又∵F是劣弧BD的中點，
∴$\widehat{DF}$=$\widehat{BF}$．
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{DC}$=$\widehat{DF}$=$\widehat{FB}$．
∴弧AC的度數=180°÷4=45°．
∴∠B=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°．

點評 本題主要考查的是圓的綜合應用，解答本題主要應用了翻折的性質、弧、弦、圓周角之間的關系、圓內接四邊形的性質，等腰三角形的判定，找出圖形中的等弧是解題的關鍵．