Question

20．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，有一矩形ABCD，其中三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（3，0）、B（9，0）、C（9，3）．將直線l：y=-3x-3以每秒3個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t的值是幾秒時(shí)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．
（2）設(shè)直線l掃過(guò)矩形ABCD的面積為S，試求S＞0時(shí)S與t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）在第一象限有一點(diǎn)M（5，5），在直線l出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)M以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，如圖2所示，則當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)M與直線l的距離是3個(gè)單位？

Answer 1

分析 （1）先求得直線l與x軸的交點(diǎn)，當(dāng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，則可求得移動(dòng)的距離，可求得t的值；
（2）當(dāng)直線EF過(guò)D、B、C點(diǎn)時(shí)，可求得相應(yīng)的t的值，分$\frac{4}{3}$＜t≤$\frac{5}{3}$、$\frac{5}{3}$＜t≤$\frac{10}{3}$、$\frac{10}{3}$＜t＜$\frac{11}{3}$和t＞$\frac{11}{3}$四種情況，分別表示出所掃過(guò)的圖形的面積即可；
（3）過(guò)M分別作MN⊥直線l于點(diǎn)N，作MG⊥x軸于點(diǎn)G，則可用t表示出M的坐標(biāo)，從而可表示出EF的解析式，聯(lián)立直線MN和EF的解析式，可用t表示出N點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理可列出關(guān)于t的方程，可求得t的值．

解答 解：
（1）令y=0，則0=-3x-3，解得x=-1，
∴直線y=-3x-3與x軸的交點(diǎn)為（-1，0），
∵A（3，0），
∴3t=3-（-1），
解得t=$\frac{4}{3}$，即當(dāng)t的值為$\frac{4}{3}$時(shí)直線l過(guò)點(diǎn)A；
（2）由題意可知D（3，3），
∴當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)D時(shí)，則可知直線EF解析式為y=-3x+12，此時(shí)F（4，0），
此時(shí)3t=5，解得t=$\frac{5}{3}$，同理當(dāng)直線EF過(guò)B點(diǎn)時(shí)可求得t=$\frac{10}{3}$，當(dāng)直線EF過(guò)點(diǎn)C時(shí)t=$\frac{11}{3}$，
∴分$\frac{4}{3}$＜t≤$\frac{5}{3}$、$\frac{5}{3}$＜t≤$\frac{10}{3}$、$\frac{10}{3}$＜t≤$\frac{11}{3}$和t＞$\frac{11}{3}$四種情況，
①當(dāng)$\frac{4}{3}$＜t≤$\frac{5}{3}$時(shí)，如圖1，

直線y=-3x-3向右平移了3t個(gè)單位，則直線EF解析式為y=-3（x-3t）-3，
把x=3代入得y=9t-12，
∴AE=9t-12，
∵直線l平移到A點(diǎn)，距離為4，
∴AF=3t-4，
∴S=$\frac{1}{2}$AF•AE=$\frac{1}{2}$×（3t-4）（9t-12）=$\frac{27}{2}$t²-36t+24；   
②當(dāng)$\frac{5}{3}$＜t≤$\frac{10}{3}$時(shí)，如圖2，

∵直線EF為：y=-3（x-3t）-3，
∴與CD的交點(diǎn)坐標(biāo)E（3t-2，3），與x軸的交點(diǎn)F（3t-1，0），
∴DE=3t-2-3=3t-5，AF=3t-1-3=3t-4，
∴S=$\frac{1}{2}$（3t-5+3t-4）×3=9t-$\frac{27}{2}$；
③當(dāng)$\frac{10}{3}$＜t≤$\frac{11}{3}$時(shí)，如圖3，

∵直線EF為：y=-3（x-3t）-3，
∴與CD的交點(diǎn)坐標(biāo)E（3t-2，3），與x軸的交點(diǎn)F（3t-1，0），與BC的交點(diǎn)G（9，9t-30），
∴DE=3t-2-3=3t-5，AF=3t-1-3=3t-4，BF=3t-1-9=3t-10，
∴S=$\frac{1}{2}$（3t-5+3t-4）×3-$\frac{1}{2}$（3t-10）（9t-30）=-$\frac{27}{2}$t²+99t-$\frac{327}{2}$；
當(dāng)t＞$\frac{11}{3}$時(shí)，直線l掃過(guò)矩形ABCD的面積為S為矩形ABCD的面積，即S=18；
綜上可知S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{27}{2}{t}^{2}-36t+24（\frac{4}{3}＜t≤\frac{5}{3}）}\\{9t-\frac{27}{2}（\frac{5}{3}＜t≤\frac{10}{3}）}\\{-\frac{27}{2}{t}^{2}+99t-\frac{327}{2}（\frac{10}{3}＜t≤\frac{11}{3}）}\\{18（t＞\frac{11}{3}）}\end{array}\right.$；
（3）如圖4，過(guò)M分別作MN⊥直線l于點(diǎn)N，作MG⊥x軸于點(diǎn)G，

∵直線EF為y=-3（x-3t）-3，M（2t+5，5），
∴設(shè)直線MN的解析式為：y=$\frac{1}{3}$x+b，
把M代入求得b=$\frac{10-2t}{3}$，
∴直線MN的解析式為y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{10-2t}{3}$，
直線EF與MN聯(lián)立得，N（$\frac{29t-19}{10}$，$\frac{3t+27}{10}$）  
∵M(jìn)與直線EF相距3個(gè)單位，
∴MN=3，
∴（2t+5-$\frac{29t-19}{10}$）²+（5-$\frac{3t+27}{10}$）²=3²，解得t=$\frac{23}{3}$+$\sqrt{10}$或t=$\frac{23}{3}$-$\sqrt{10}$，
∴當(dāng)t的值為$\frac{23}{3}$+$\sqrt{10}$或$\frac{23}{3}$-$\sqrt{10}$，時(shí)直線l與M相距3個(gè)單位．

點(diǎn)評(píng) 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、三角形的面積、直線的平移、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、勾股定理、方程思想及分類討論思想．在（1）中求得直線l與x軸的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，在（2）中用分四種情況分別用t表示出相應(yīng)圖形的面積是解題的關(guān)鍵，在（3）中用t分別表示出M、N的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，計(jì)算量較大，難度適中．