Question

20．如圖，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D是BC的中點，且它關于AC的對稱點是D′，BD′=$\sqrt{5}$，求AC的長．

Answer 1

分析 連結CD′，DD′，由等腰直角三角形性質得∠ACB=45°，根據軸對稱性質可得CD=CD′、∠D′CD=90°，由BC=2CD′可設CD′=x，則BC=2x，在Rt△BCD′中，由勾股定理即可得求得x的值，從而得出AB=BC=2，繼而得出答案．

解答 解：如圖，連結CD′，DD′，

∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ACB=45°，
∵D關于AC的對稱點是D′，
∴AC垂直平分DD′，
∴CD=CD′，∠D′CD=90°，
又∵D是BC的中點，
∴BC=2CD′，
設CD′=x，則BC=2x，
在Rt△BCD′中，由勾股定理得：CD′²+BC²=BD′²，即x²+（2x）²=5，
解得：x=1或x=-1（舍），
∴AB=BC=2，
∴AC=2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查等腰直角三角形的性質、軸對稱的性質及勾股定理，熟練掌握軸對稱的性質是解題的關鍵．