Question

15．如圖，在直角坐標系中，點A，點B的坐標分別為（2，0），（0，2）
（1）求線段AB的長；
（2）若點E在AB上，OE⊥OF，且OE=OF，求AF+AE的值；
（3）在第2問的條件下過O作OM⊥EF交AB于M，試確定線段BE、EM、AM的數量關系？并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）先根據A點與B點坐標得到OA=OB=2，根據等腰直角三角形的性質，得到AB=$\sqrt{2}$OA=2$\sqrt{2}$；
（2）由OE⊥OF，根據等角的余角相等得到∠BOE=∠AOF，而OB=OA，OE=OF，得到△BOE≌△AOF，則BE=AF，得到AF+AE=BE+AE=AB=2$\sqrt{2}$；
（3）連MF，△OEF為等腰直角三角形并且OM⊥EF，得到OM為EF的垂直平分線，則MF=ME，又∠OAF=∠OBE=45°，即∠FAM=90°，利用勾股定理得到AM²+AF²=MF²，進行等線段代換后即可得到AM²+BE²=ME²．

解答 解：（1）∵B點坐標為（0，2），A點坐標為（2，0），
∴OB=2，OA=2，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$OA=2$\sqrt{2}$；

（2）∵OE⊥OF，
∴∠BOE=∠AOF，
在△BOE和△AOF中
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OA}\\{∠BOE=∠AOF}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△AOF（SAS），
∴BE=AF，
∴AF+AE=BE+AE=AB=2$\sqrt{2}$；

（3）線段BE、EM、AM的數量關關系為：AM²+BE²=ME²．
證明：連MF，如圖，∵OE⊥OF，且OE=OF，
∴△OEF為等腰直角三角形，
∵OM⊥EF，
∴OM為EF的垂直平分線，
∴MF=ME，
又∵△BOE≌△AOF，
∴∠OAF=∠OBE=45°，
∴∠FAM=90°，
∴AM²+AF²=MF²，
∴AM²+BE²=ME²．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質，一次函數的綜合應用，全等三角形的判定與性質、垂直平分線的性質以及勾股定理．解決問題的關鍵是作輔助線構造直角三角形，運用勾股定理得出線段之間的關系式．