Question

6．已知a，b，c是△ABC的三條邊的邊長，且p=$\frac{a}{b+c}$+$\frac{b}{c+a}$+$\frac{c}{a+b}$，則（　　）

• A． 存在三角形使得p=1或p=2
• B． 0＜p＜1
• C． 1＜p＜2
• D． 2＜p＜3

Answer 1

分析 由于分式的分子和分母都是正數，利用放大分母使分式的值變小和縮小分母使分式的值變大來確定p的范圍．

解答 解：設△ABC的周長為l，
∴l=a+b+c，
∴a+b=l-c，b+c=l-a，c+a=l-c，
∵a，b，c是△ABC的三條邊的邊長，
∴a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，
∴c＜l-c＜l，a＜l-a＜l，b＜l-b＜l，
∴$\frac{1}{l-c}＞\frac{1}{l}$，$\frac{1}{l-a}＜\frac{1}{l}$，$\frac{1}{l-b}＜\frac{1}{l}$，
∴$\frac{c}{l-c}＜\frac{c}{l}，\frac{a}{l-a}＜\frac{a}{l}，\frac{b}{l-b}＜\frac{b}{l}$，
∴p=$\frac{a}{b+c}$+$\frac{b}{c+a}$+$\frac{c}{a+b}$=$\frac{a}{l-a}+\frac{b}{l-b}+\frac{c}{l-c}$＞$\frac{a}{l}+\frac{b}{l}+\frac{c}{l}$=$\frac{a+b+c}{l}$=1，
∴p＞1；
設c是△ABC的三條邊中的最大邊，
∴c＞a，c＞b，
∴l-a＞l-c，l-b＞l-c
，∴$\frac{1}{l-a}＜\frac{1}{l-c}，\frac{1}{l-b}＜\frac{1}{l-b}$，
∴$\frac{a}{l-a}＜\frac{a}{l-c}，\frac{b}{l-b}＜\frac{a}{l-c}$
∴p=$\frac{a}{b+c}$+$\frac{b}{c+a}$+$\frac{c}{a+b}$=$\frac{a}{l-a}+\frac{b}{l-b}+\frac{c}{l-c}$＜$\frac{a}{l-c}+\frac{b}{l-c}+\frac{c}{l-c}$=$\frac{a+b+c}{l-c}$=$\frac{a+b+c}{a+b}$=1+$\frac{c}{a+b}$＜2，
∴p＜2，
即：1＜p＜2．
故選C．

點評 此題是三角形的邊角關系的題目，主要考查了三角形的三邊關系，利用放縮法來確定p的范圍是解本題的關鍵，也是難點．